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圆周率的推算       ★★★ 双击滚屏阅读

圆周率的推算

作者:金庸    版权:三剑楼随笔    点击数:    更新时间:2014/5/21

  梁羽生兄在《数学与逻辑》一文中,曾谈到祖冲之的圆周率,说是全世界最早的精密计算。这在数学史上是一个有趣的问题。
  圆周与直径的比例怎样,这在实用上是常遇到的,我国最早的数学书是《周髀算经》(注:现存《周髀算经》为东汉末年或是魏晋之间的赵君卿所注,原作者与成书年代均不详。它是相当古老的书籍,别看书名有一“算”字,整本书又充斥着数学,其实是册古代天文书,且自古就被列入《算经十书》中。《算经十书》包括《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张邱建算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《数术记遗》),其中称“周三径一”,即圆周率(注:圆周率就是圆周长与直径的比)是三。据传说,这是周初的商高计算出来的。如果传说不错,那么这是公元前十二世纪的事。
  希腊人说,圆周率的应用是始于公元前三世纪的大物理学家阿基米德,就是那位因洗澡而发现阿基米德定律的人。希腊人称圆周率为“阿基米德值”。
  我国著名桥梁专家、设计建造钱塘江大桥的茅以升先生在《圆周率略史》中说:“西洋数学多以为此率源于印度,而声息相通之阿拉伯亦认为是印度所产。”
  到底,粗疏的圆周率是哪一民族的人最先发现的?我想,三与一之比的周率,随便用尺与绳子一量就量得出来。在实用上需用的时候,许多民族都会一量而依照这比率计算。所以,到底谁最早发现,那是很难说的。至于精密的计算,则是较后的事。
  我们说祖冲之最先计算出精密的圆周率,是根据《隋书·律历志》中的记载。那上面说:“古之九数,圆周率三,圆径率一,其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒,各设新率,未臻折衷。宋末,南徐州从事史祖冲之,更开密法,以圆径一亿为一丈,圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正数在盈朒二限之间。密率,圆径一百一十三,圆周三百五十五。约率,圆径七,周二十二。又设开差冪(注:字同“幂”,读音均同“密”字音),开差立,兼以正圆参之。指要精密,算氏之最者也。所著之书,名为《缀术》,学官莫能究其深奥,是故废而不理。”(注:此段记载乃是重新取自《隋书·律历志》原书中的相关记载。)

  这一段话稍加说明,就极易清楚:
  我国历史上首先用数学方法推算圆周率的,是汉代的大学者刘歆(公元二三年为王莽所杀),他的圆周率是3.1547。张衡(公元七八年,到公元一三九年,东汉时代人),是我国著名的天文学家,他的圆周率是√10 或92/29。刘徽(生于公元二五○年左右,公元二六三年著有进行注释后的《九章算术注》),他用割圆术来推算,即圆内画一六边形,逐渐增加边数,这多边形与圆会越来越接近,计算多边形的边,算到九十六边形时,圆周率定为3.14(注:另外,有人认为在割圆术中刘徽提供了一种绝妙的精加工办法,以致于他将割到192 边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均,竟然获得具有4 位有效数字的圆周率 π =3927/1250 =3.1416。而这一结果,正如刘徽本人指出的,如果通过割圆计算得出这个结果,需要割到3072 边形。)。王蕃(公元二一九到公元二五七年)是142/45=3.155...,皮延宗(公元四五五年前后时人)的圆周率考查不出来。据李俨的《中国算学史》中说,在祖冲之之前,还有一位何承天(公元三七○到四四七年),圆周率为22/7,即3.1428。这些周率都不精密。
  祖冲之(公元四二九至五○○年)是南北朝的刘宋时人,他算出的圆周率据《隋书》中说,是小于3.1415927 而大于3.1415926,可定为3.14159265,精密的说,是355/113,约略的说,是22/7。西欧人算得这样精密的,是在一千多年以后(一五七三年)的德国奥托(Valentinus Otto),但他也只算到小数点后的六位。
  祖冲之的儿子祖恒之,也是一位大数学家,他发现了计算圆球体面积与体积的公式。因为他们的推理方法在那时是太精妙了,管理文化教育事宜的官吏根本不懂,于是“废之不理”。
  在各文化古国中,我国的数学是不算十分发达的。我国数学一直限制于实用,与实用无关的比较抽象的推理几乎都不去接触。最突出的贡献,恐怕是这圆周率了。我在初中读书时,教我数学的是章克标先生。他因写小说而出名,为人很是滑稽,同学们经常和他玩闹而不大听他讲书。他曾写过一部《数学的故事》,其中说到有一个欧洲青年花了极长的时间,把圆周率推算到小数点后六百多位。这个圆周率,当然是毫无实用价值的。
  在写小说《书剑恩仇录》时,为了要多知道一些陈家洛的身世,我曾翻过一些关于他祖宗海宁陈氏的记载,发现有一位与他父亲陈世倌同辈的陈世仁(1676-1722)。这位先生是康熙时翰林,竟是一位数学大家,著有《少广补遗》一卷,对于“级数”颇有研究,发现了许多据说是前人从来没有谈过的公式。书中一直研究到奇数偶数平方立方的级数和等问题。

 
 
 
 
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